Como calcular no papel QUALQUER OPERAÇÃO TRIGONOMÉTRICA?

palavras-chave: qualquer, operação trigonométrica, calcular.

Introdução

Gostaria de saber como calcular qualquer operação trigonométrica? Seno, cosseno, arco seno etc, de qualquer ângulo? Nestes casos, foi usada a expansão de Taylor (Série de Taylor).
Lembre-se que, nesses métodos, o ÂNGULO DEVE ESTAR EM RADIANOS!

Definições

                           Operação; Inversa
seno de x =           sin(x);     asin(x)
cosseno de x =     cos(x);     acos(x)
tangente de x =     tan(x);     atan(x)
cotangente de x = cot(x);     acot(x)
secante de x =      sec(x);     asec(x)
cossecante de x = csc(x);     acsc(x)

Resposta SENO

em que:

"x" é o número dentro do seno; "x em RADIANOS".
"n!" é o fatorial de n = (n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)
Por exemplo: 5!  = 5.4.3.2.1 = 120

Resposta ARCO SENO

resumindo...

em que

"x" é algum seno calculado antes; -1 ≤ x ≤ 1

asin(x) = ângulo em RADIANOS;

"n!" é o fatorial de n = (n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)
Por exemplo: 5!  = 5.4.3.2.1 = 120

Como Usar a Fórmula do SENO?

Quanto mais longe, mais casas decimais!

Para usar esta fórmula, transforme "x" de graus para radianos.

Por exemplo,

Neste caso:

x(graus) = 27

x(radianos) = 3π/20 ≈ 0.4712

1) sin(3π/20) = 3π/20 ≈ 0.4712

2) sin(3π/20) = 3π/20 - (3π/20)³/(3.2.1) ≈ 0.4538

Compare com o seno calculado na calculadora: 0.453990...
Bem perto, não é? Para saber mais casas decimais, basta continuar:
3) sin(3π/20) = 3π/20 - (3π/20)³/(3.2.1) + (3π/20)⁵/(5.4.3.2.1)
...
Então:

sin(27º) ≈ 0.4538

Como Usar a Fórmula do ARCO SENO?

Quanto mais longe, mais casas decimais!

Para usar esta fórmula, o "x" deve vir de um seno; ou seja, -1 ≤ x ≤ 1
Por exemplo,

Neste caso:
x = 0.951,

1) asin(0.951) = x = 0.951

2) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 ≈ 1.0943

3) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 + (3/8)x⁵/5 ≈ 1.1527

4) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 + (3/8)x⁵/5 + (5/16)x⁷/7 ≈ 1.1841

5) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 + (3/8)x⁵/5 + (5/16)x⁷/7 + (35/128)x⁹/9 ≈ 1.2034

6) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 + (3/8)x⁵/5 + (5/16)x⁷/7 + (35/128)x⁹/9 + (63/256)x¹¹/11 ≈ 1.2163

7) asin(0.951)= x+(1/2)x³/3+(3/8)x⁵/5+(5/16)x⁷/7+(35/128)x⁹/9+(63/256)x¹¹/11+(231/1024)x¹³/13 ≈ 1.2253

8) asin(0.951)= x+(1/2)x³/3+(3/8)x⁵/5+(5/16)x⁷/7+(35/128)x⁹/9+(63/256)x¹¹/11+(231/1024)x¹³/13+(429/2048)x¹⁵/15 ≈ 1.2319


Então, asin(0.951) ≈ 1.2319 radianos;
ou seja, asin(0.951) ≈ 70.5827º ≈ 71º
Fazendo isso na calculadora, a resposta é = 71,9895º ≈ 72º

É perto, não é? Se quiser mais casas decimais, basta continuar o processo...

Como Calcular as Outras Operações?

Se você sabe quanto vale o "seno de x" basta calcular a raiz quadrada:
 ; veja como calcular raiz quadrada, no nosso outro post:
Como calcular qualquer raiz?

Se você tem o seno e o cosseno, pode calcular a tangente:  tan(x) = sin(x)/cos(x);
Se você tem a tangente, pode calcular a cotangente:            cot(x) = 1/tan(x);
Se você tem o cosseno, pode calcular a secante:                  sec(x) = 1/cos(x);
Se você tem o seno, pode calcular a cossecante:                  csc(x) = 1/sin(x);

Inversas

Se você tem o arco seno, pode calcular o arco cosseno:      acos(x) = π/2 - asin(x);
Tendo essas duas é possível calcular qualquer outra.
Por exemplo:

acsc(2)=x

2=csc(x)
csc(x)=1/sin(x)
2=1/sin(x)
sin(x)=1/2
x=asin(1/2)

acsc(2) = asin(1/2) = π/6 = 30º





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Como calcular no papel QUALQUER RAIZ?

palavras-chave: qualquer, raiz, calcular.

Introdução

Gostaria de saber como calcular no papel qualquer raiz? Raiz quadrada, raiz cúbica, com índice "2.75" etc, de qualquer número?

Primeiramente, tenha em conta que será usado um "método numérico" para fazer o cálculo. O que isso significa? Significa que você pode calcular quantas casas decimais quiser. Mas, quanto mais casas decimais você quiser calcular, mais difícil é o cálculo (no papel, lógico).
Neste caso da raiz, foi usado o método de Newton-Raphson; para achar zeros de uma função.

Resposta

em que:

"r" é o número dentro da raiz; r>0.

"i" é o índice da raiz (raiz quadrada i=2); i>1.

"a" é qualquer número usado para começar o processo; a>0.

"b" é a segunda aproximação da raiz.

Não é bom usar números irracionais, em nenhuma das variáveis (i, r, a)

Como Usar a Fórmula?

Quanto mais vezes usar a fórmula, mais casas decimais vai descobrir!

Para usar esta fórmula, escolha um valor inicial de "a" (lembre que a>0). É melhor escolher um número perto da resposta... mas não faz diferença. Por exemplo:

Neste caso:

i = 2

r = 47

Você pode escolher a = 7, se quiser. Quanto mais perto "a" está da resposta, mais casas decimais são descobertas.

1) a=7; i=2; r=47; b = ?

b = 48/7 ~ 6.857

2) a=48/7; i=2; r=47; b = ?

b = 4607/672 ~ 6.8556548...

Compare com a raiz calculada na calculadora: 6.8556546004...
Bem próximo, não é? Para saber mais casas decimais, basta continuar:
3) a = 4607/672; b = ?
...
Então:





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