Como calcular no papel QUALQUER OPERAÇÃO TRIGONOMÉTRICA?

palavras-chave: qualquer, operação trigonométrica, calcular.

Introdução

Gostaria de saber como calcular qualquer operação trigonométrica? Seno, cosseno, arco seno etc, de qualquer ângulo? Nestes casos, foi usada a expansão de Taylor (Série de Taylor).
Lembre-se que, nesses métodos, o ÂNGULO DEVE ESTAR EM RADIANOS!

Definições

                           Operação; Inversa
seno de x =           sin(x);     asin(x)
cosseno de x =     cos(x);     acos(x)
tangente de x =     tan(x);     atan(x)
cotangente de x = cot(x);     acot(x)
secante de x =      sec(x);     asec(x)
cossecante de x = csc(x);     acsc(x)

Resposta SENO

em que:

"x" é o número dentro do seno; "x em RADIANOS".
"n!" é o fatorial de n = (n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)
Por exemplo: 5!  = 5.4.3.2.1 = 120

Resposta ARCO SENO

resumindo...

em que

"x" é algum seno calculado antes; -1 ≤ x ≤ 1

asin(x) = ângulo em RADIANOS;

"n!" é o fatorial de n = (n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)
Por exemplo: 5!  = 5.4.3.2.1 = 120

Como Usar a Fórmula do SENO?

Quanto mais longe, mais casas decimais!

Para usar esta fórmula, transforme "x" de graus para radianos.

Por exemplo,

Neste caso:

x(graus) = 27

x(radianos) = 3π/20 ≈ 0.4712

1) sin(3π/20) = 3π/20 ≈ 0.4712

2) sin(3π/20) = 3π/20 - (3π/20)³/(3.2.1) ≈ 0.4538

Compare com o seno calculado na calculadora: 0.453990...
Bem perto, não é? Para saber mais casas decimais, basta continuar:
3) sin(3π/20) = 3π/20 - (3π/20)³/(3.2.1) + (3π/20)⁵/(5.4.3.2.1)
...
Então:

sin(27º) ≈ 0.4538

Como Usar a Fórmula do ARCO SENO?

Quanto mais longe, mais casas decimais!

Para usar esta fórmula, o "x" deve vir de um seno; ou seja, -1 ≤ x ≤ 1
Por exemplo,

Neste caso:
x = 0.951,

1) asin(0.951) = x = 0.951

2) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 ≈ 1.0943

3) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 + (3/8)x⁵/5 ≈ 1.1527

4) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 + (3/8)x⁵/5 + (5/16)x⁷/7 ≈ 1.1841

5) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 + (3/8)x⁵/5 + (5/16)x⁷/7 + (35/128)x⁹/9 ≈ 1.2034

6) asin(0.951) = x + (1/2)x³/3 + (3/8)x⁵/5 + (5/16)x⁷/7 + (35/128)x⁹/9 + (63/256)x¹¹/11 ≈ 1.2163

7) asin(0.951)= x+(1/2)x³/3+(3/8)x⁵/5+(5/16)x⁷/7+(35/128)x⁹/9+(63/256)x¹¹/11+(231/1024)x¹³/13 ≈ 1.2253

8) asin(0.951)= x+(1/2)x³/3+(3/8)x⁵/5+(5/16)x⁷/7+(35/128)x⁹/9+(63/256)x¹¹/11+(231/1024)x¹³/13+(429/2048)x¹⁵/15 ≈ 1.2319


Então, asin(0.951) ≈ 1.2319 radianos;
ou seja, asin(0.951) ≈ 70.5827º ≈ 71º
Fazendo isso na calculadora, a resposta é = 71,9895º ≈ 72º

É perto, não é? Se quiser mais casas decimais, basta continuar o processo...

Como Calcular as Outras Operações?

Se você sabe quanto vale o "seno de x" basta calcular a raiz quadrada:
 ; veja como calcular raiz quadrada, no nosso outro post:
Como calcular qualquer raiz?

Se você tem o seno e o cosseno, pode calcular a tangente:  tan(x) = sin(x)/cos(x);
Se você tem a tangente, pode calcular a cotangente:            cot(x) = 1/tan(x);
Se você tem o cosseno, pode calcular a secante:                  sec(x) = 1/cos(x);
Se você tem o seno, pode calcular a cossecante:                  csc(x) = 1/sin(x);

Inversas

Se você tem o arco seno, pode calcular o arco cosseno:      acos(x) = π/2 - asin(x);
Tendo essas duas é possível calcular qualquer outra.
Por exemplo:

acsc(2)=x

2=csc(x)
csc(x)=1/sin(x)
2=1/sin(x)
sin(x)=1/2
x=asin(1/2)

acsc(2) = asin(1/2) = π/6 = 30º





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